Pensemos como Dios

No existe un robo perfecto, hack perfecto o incluso una muerte sin evidencia; así como un criminal siempre deja su huella en la escena del crimen, así como es posible localizar la dirección IP de un hacker o encontrar la causa de muerte en una autopsia, Dios ha dejado su huella, huellas que podemos localizar e incluso podemos llegar a pensar en causas del porqué.

Esta imagen que acabamos de ver es una función de una integral de línea, dicho tema recibe su interés en el momento en el que explica porqué el agua hace un pequeño remolino (de izquierda a derecha) cuando jalamos el gatillo del WC o cuando se va el agua por el drenaje, ese pequeño remolino que vemos formándose y muchos otros acontecimientos naturales (como los tornados y huracanes) se pueden explicar por medio de las matemáticas. 

Si nosotros vemos la gráfica de la función, tendríamos algo así: 

Una función tan compleja arroja una imagen con forma de huella digital. 

La relación que existe entre el mundo matemático y el mundo natural es tan grande que es una trivialidad pensar que no es coincidencia y que el creador de lo que vemos y sabemos tenía una visión concreta de su producto final.

En entradas pasadas he enseñado diferentes imágenes y videos en los cuales se presenta el número de Oro (phi = 1.6180) y la espiral de Fibonacci en la naturaleza; animales, constelaciones, partes del cuerpo humano), meramente creaciones de algo superior. 

¿Son las maravillas de nuestro universo una coincidencia cósmica o el resultado de un diseño inteligente?

Por siglos, la religión y la ciencia fueron enemigos mutuos, ahora, la ciencia busca respuestas de nuestra creación. Físicos y matemáticos creen que las respuestas están escondidas en las matemáticas. 

Empezemos a jugar un poco más con la espiral de Fibonacci; les había mostrado una sola espiral, pero que pasaría si agregamos más espirales...

Esta misma secuencia se encuentra en las piñas 

Esta belleza matemática está en todos lados, hasta en publicidad del gobierno...

Sea quien sea el creador, divino o no divino, por definición un milagro es un evento atribuido a la intervención divina o incluso un evento que sucede a pesar de sus pocas (casi nulas) probabilidades.

Esa búsqueda por un Dios, esa inquietud, esa hambre de conocimiento nos ha hecho superarnos como seres pensantes, si Dios existe o no es una pregunta que perdurará eternamente, como nuestras ganas de aprender, yo creo que la verdadera intención de su existencialismo es que entre más nos sintamos cerca de él, es cuando más habremos avanzado en nuestro conocimiento, en nuestra razón. Él está en nosotros como el hecho de que 2+2=4 jamás se nos olvidará. Para estar mas cerca de él, tenemos que estar más cerca del conocimiento.

"No creo en un Dios personificado y no he negado nunca esto, sino más bien lo he expresado claramente. Si hay algo en mí que se pudiera llamar religioso, es una admiración ilimitada de la estructura del mundo, hasta donde nuestra ciencia la puede descubrir."

                                                                                                           --Albert Einstein--

La ecuación mas bella

Entrados en calor.. les hablare un poco de lo que elegí que fuera el fondo de mi blog y vaya que es complicado explicar.

Vemos una función, una ecuación, una formula.. bueno primero quiero aclarar que los 3 términos que acabo de utilizar son muy distintos, como decir que el perro y el lobo son iguales..

Una función es una relación de dos términos, es algo mas filosófico desde mi punto de vista, mas romántico, en donde hay un término dependiente y uno independiente (como cualquier relación, uno necesita del otro)

Una fórmula es una proposición, es algo con lo que tu ya cuentas y solo sustituyes valores, si quieres conocer el área del rectángulo basta con conocer sus lados, en cambio, si conoces el área y uno de sus lados, y quieres conocer el otro lado, basta con hacer una igualdad, eso es lo que es una ecuación, una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

Lo que vemos en el fondo de este blog es una ecuación, es según los matemáticos, la ecuación mas bella. La Ecuación mas bella también conocida como la ecuación de Euler.
                                      

Esta ecuación parecerá muy simple, la suma, la multiplicación, el exponencial y la igualdad, cosas que hemos visto desde la secundaria, lo que la hace hermosa es la relación entre 5 términos importantísimos en las matemáticas. Los primeros 3 términos nos deberían ser familiares a todos: el 0, el 1 y Pi.

El cero y el 1 son triviales, no tomaré gran tiempo explicando éstos dos números.

Pi = 3.141592654 es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

Hasta aquí todos estamos en la misma página.

El cuarto numero es un poco mas complicado, pero no del todo desconocido. Es e = 2.71828...

Es conocido por problemas matemáticos relaciones a los exponenciales y logaritmos, es frecuentemente usado para interés y crecimiento en problemas financieros.

El quinto número es el número imaginario i. Siendo la raíz cuadrada de (-1).

Una vez establecidos estos 5 valores, sería bueno tener en mente las funciones Seno(x) y Coseno(x) aunque los usaremos un poco mas tarde.

A partir de aquí se puede poner un poco "tenebroso" el asunto, prometo intentar redactar de una manera que no se nos haga tediosa la lectura, el conocimiento matemático que se necesita para lo siguiente es elemental, pero procurare bajarlo a un estado puro y limpio, un estado digerible.
 

SI AUN ASI NO QUIEREN SABER NADA DE MATEMATICAS, LES RECOMIENDO PASAR TODO ESTO POR ALTO Y CREERME CUANDO LES DIGO QUE UNA FORMULA ES ASI... SOLO BAJEN HASTA ENCONTRAR MAS LETRAS EN MAYUSCULA

Empezemos con e, cuando es usado es funciones exponenciales, normalmente se ve como f(x)=e^x.

Aquí necesitamos saber de un concepto que en lo personal me llevo 4 meses entender, pero lo veremos en unos pocos renglones, las Series de Taylor. Basicamente las Series de Taylor hacen de una función complicada (e^x) un polinomio (como x^2 + 5x).

La serie de taylor para e^x = 1 + x + (x^2 / 2) + (x^3 / 6) + (x^4 / 24) + (x^5 / 120) + .... y es infinita.


                                                       


Aquí retomamos las funciones de seno y coseno, estas funciones también pueden ser expresadas como series de Taylor. A fines de velocidad, decidí meter una imagen con estas dos funciones


                                                   


Si notan un patrón, habrán notado lo que Euler notó en su momento y después se pregunto si habría una forma de relacionar e^x con seno y coseno. Aquí es donde el numero i entra a la jugada.. que tal si tenemos e^(ix) en ves de solo e^x? Nuestra serie de Taylor sería: e^(ix) = 1 + ix + (ix^2 / 2) + (ix^3 / 6) + (ix^4 / 24) + (ix^5 / 120) + ....

Por lógica matemática sabemos que los exponentes de i se repiten, sabiendo que i a la primera es i; i a la segunda es -1; i a la tercera es -i e i a la cuarta es 1.

entonces lo simplifico hasta tener lo siguiente: e^(ix) = 1 + ix + -(x^2/2) + -i(x^3/6) + (x^4/24) + i(x^5/120) + ...

Acomodando los términos nos queda algo asi: e^(ix) = [1 - (x^2/2) + (x^4/24) - ...] + [ix - i(x^3/6) + i(x^5/120) - ...].

la parte izquierda se nos debería de hacer familiar, es cos(x)!!

entonces tenemos: e^(ix) = cos(x) + [ix - i(x^3/6) + i(x^5/120) - ...]. Factorizando el i de la derecha, nos queda:

e^(ix) = cos(x) + i[x - (x^3/6) + (x^5/120) - ...]. y la parte de la derecha se acaba de transformar en seno(x)!!

ESTA ES LA FORMULA QUE DEDUCIMOS Y QUE MUCHOS DE USTEDES SOLO CREYERON QUE ASÍ ERA:

                                                      e^(ix) = cos(x) + i sin(x) (1)


Apartir de aqui introducimos el otro termino que es π. Decimos que x=π.

e^(iπ) = cos(π) + i sin(π).

(cos(180)= -1 y seno(180)=0) por lo que nuestra ecuación se reduce a e(^iπ) = -1 + (i)(0). de donde se puede quitar el (i)0 pues sabemos que todo multiplicado por cero da cero.

e(^iπ) = -1.

Aqui metemos el ultimo valor que es 1, sumamos 1 a los dos lados para no alterar la ecuación y te queda:

e^(iπ) + 1 = -1 + 1. Simplificamos de los dos lados y voilá!

Hemos deducido la ecuación mas bella matemáticamente hablando!

Son unos campeones por haber leído todo esto, ha sido muy pesado hacer esta entrada, fue una carga mental muy difícil pero lo hemos logrado. Apoco no se sienten bien? imagínense como me siento yo después de haber escrito todo esto, ha sido una carrera entre mi mente y mis dedos, haber cual se podía desempeñar mas eficaz.

Simetría es belleza

Esta vez he encontrado dos videos que me han parecido fenomenales, ambos son del mismo autor: Marcus du Sautoy, catedrático en Oxford, nacido en Inglaterra en 1965, galardonado con el premio Berwick de la London Mathematical Society, autor de 4 libros y actualmente se dedica a la investigación, trabajando en televisión, haciendo un broadcast donde habla de cómo la humanidad crea robots capaces de pensar por si solos; y en la radio, donde habla con matemáticos famosos en su programa A brief history of mathematics. Para mas informacion, checar el enlace siguiente. Marcus du Sautoy

Lo interesante de este personaje es que el habla en sus conferencias y en uno de sus 4 libros (Symmety: A journey into the patterns of nature) de la simetría encontrada en la naturaleza, de cómo los humanos por naturaleza elegimos las cosas simétricas. Un ejemplo sería la siguiente imagen.

Cuál te gusta más? la derecha o la izquierda? El 85% de las personas eligieron la derecha, es la misma persona, el mismo rostro, la misma expresión, la única diferencia es que la foto de la derecha fue manipulada para que se viera simétrica, más estética que la fotografía de la derecha.

Esta simetría la encontramos en la naturaleza a través de los números. 

Este es el primer video que encontré

Y este es el segundo

Mi intención con esta entrada es que juntos podamos entender que la simetría da belleza, que las matemáticas se encuentran en todos lados y que no están ahí por casualidad, que existe un orden, una estructura, y cuando esa estructura se descifra, es en ese momento en el que vemos la belleza de la naturaleza.

El país de las matemáticas

Bueno hoy les quiero compartir un video más, este está un poco mas largo que los anteriores sin embargo tiene mucha información muy útil y a pesar de que el video no se profundiza en todos los aspectos matemáticos mencionados, no hay que olvidar que es un video de Disney donde el protagonista es un pato parlante.

Lo interesante del video es que me ha dado una nueva visión de mi tema, antes quería centrarme en las matemáticas y la naturaleza, ahora estoy un poco confundido en si solo quiero dejarlo ahí o ampliar un poco mas la gama y desarrollar un tema que relacione las matemáticas y objetos de diario uso. 

Este video explica lo que ya he venido contando antes de la relación áurea y la sucesión de Fibonacci, (si le quieren adelantar al minuto 7:24) y lo pone de una manera mas táctil para que todos lo podamos entender sin estar pausando el video ni mucho menos. 

Espero que lo disfruten y cualquier cosa escríbanme un comentario. 

un poco de números...

Constantemente cuestiono las cosas que se desenvuelven a mi alrededor, desde que entré a la universidad me he cuestionado una cosa que hasta la fecha no me puedo responder en su totalidad.. las matemáticas son un invento del hombre o un descubrimiento?

Le quiero dedicar una entrada a este tema maravilloso e infinito, las matemáticas, el fin es que se pongan en mi lugar, que vean las matemáticas como yo las veo, entiendo que en gustos se rompen géneros, pero una opinión nunca lastimó a nadie. 

Desde el principio me gustaría aclarar que NO tengo un tema bien definido y me gustaría que quienes lean esto, me ayuden a elegir uno. Si leyeron mi primera entrada, sabrán que estudio Actuaría y me gustan las matemáticas. Mi carrera se divide (según mi opinión) en dos grandes ramas, el aspecto de los seguros (probabilidad de muerte, teoría del riesgo, etc) y el de los financieros (matemáticas financieras, optimización, etc). La lucha de las 6 letras: ¿GNP o BMV? 

StumbleUpon ha sido una gran herramienta, TED no tanto y precisamente les quiero compartir un video que encontré hace un tiempo en este buscador, habla de las matemáticas en la naturaleza.
Habla de dos temas matemáticas muy interesantes y su relación, el primero es La sucesión de Fibonacci, el cual basicamente una sucesión infinita de números, su propiedad es que el siguiente numero es la suma de los dos primeros numeros, (0, 1, 1, 2, 3, 5....) y el segundo se divide en dos, uno es el Número Aureo y el otro es el Ángulo de oro, ambos se pueden encontrar en el siguiente enlace Número áureo.
Si están interesados visiten los enlaces ya que mi descripción fue muy sencilla.

La foto anterior expresa un poco más como se relacionan las matmáticas y la naturaleza.
Ojalá disfruten el video y no olviden escribir sus comentarios.