Vemos una función, una ecuación, una formula.. bueno primero quiero aclarar que los 3 términos que acabo de utilizar son muy distintos, como decir que el perro y el lobo son iguales..
Una función es una relación de dos términos, es algo mas filosófico desde mi punto de vista, mas romántico, en donde hay un término dependiente y uno independiente (como cualquier relación, uno necesita del otro)
Una fórmula es una proposición, es algo con lo que tu ya cuentas y solo sustituyes valores, si quieres conocer el área del rectángulo basta con conocer sus lados, en cambio, si conoces el área y uno de sus lados, y quieres conocer el otro lado, basta con hacer una igualdad, eso es lo que es una ecuación, una igualdad entre dos expresiones algebraicas.
Lo que vemos en el fondo de este blog es una ecuación, es según los matemáticos, la ecuación mas bella. La Ecuación mas bella también conocida como la ecuación de Euler.
Esta ecuación parecerá muy simple, la suma, la multiplicación, el exponencial y la igualdad, cosas que hemos visto desde la secundaria, lo que la hace hermosa es la relación entre 5 términos importantísimos en las matemáticas. Los primeros 3 términos nos deberían ser familiares a todos: el 0, el 1 y Pi.
El cero y el 1 son triviales, no tomaré gran tiempo explicando éstos dos números.
Pi = 3.141592654 es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
Hasta aquí todos estamos en la misma página.
El cuarto numero es un poco mas complicado, pero no del todo desconocido. Es e = 2.71828...
Es conocido por problemas matemáticos relaciones a los exponenciales y logaritmos, es frecuentemente usado para interés y crecimiento en problemas financieros.
El quinto número es el número imaginario i. Siendo la raíz cuadrada de (-1).
Una vez establecidos estos 5 valores, sería bueno tener en mente las funciones Seno(x) y Coseno(x) aunque los usaremos un poco mas tarde.
A partir de aquí se puede poner un poco "tenebroso" el asunto, prometo intentar redactar de una manera que no se nos haga tediosa la lectura, el conocimiento matemático que se necesita para lo siguiente es elemental, pero procurare bajarlo a un estado puro y limpio, un estado digerible.
SI AUN ASI NO QUIEREN SABER NADA DE MATEMATICAS, LES RECOMIENDO PASAR TODO ESTO POR ALTO Y CREERME CUANDO LES DIGO QUE UNA FORMULA ES ASI... SOLO BAJEN HASTA ENCONTRAR MAS LETRAS EN MAYUSCULA
Empezemos con e, cuando es usado es funciones exponenciales, normalmente se ve como f(x)=e^x.
Aquí necesitamos saber de un concepto que en lo personal me llevo 4 meses entender, pero lo veremos en unos pocos renglones, las Series de Taylor. Basicamente las Series de Taylor hacen de una función complicada (e^x) un polinomio (como x^2 + 5x).
La serie de taylor para e^x = 1 + x + (x^2 / 2) + (x^3 / 6) + (x^4 / 24) + (x^5 / 120) + .... y es infinita.
Aquí retomamos las funciones de seno y coseno, estas funciones también pueden ser expresadas como series de Taylor. A fines de velocidad, decidí meter una imagen con estas dos funciones
Si notan un patrón, habrán notado lo que Euler notó en su momento y después se pregunto si habría una forma de relacionar e^x con seno y coseno. Aquí es donde el numero i entra a la jugada.. que tal si tenemos e^(ix) en ves de solo e^x? Nuestra serie de Taylor sería: e^(ix) = 1 + ix + (ix^2 / 2) + (ix^3 / 6) + (ix^4 / 24) + (ix^5 / 120) + ....
Por lógica matemática sabemos que los exponentes de i se repiten, sabiendo que i a la primera es i; i a la segunda es -1; i a la tercera es -i e i a la cuarta es 1.
entonces lo simplifico hasta tener lo siguiente: e^(ix) = 1 + ix + -(x^2/2) + -i(x^3/6) + (x^4/24) + i(x^5/120) + ...
Acomodando los términos nos queda algo asi: e^(ix) = [1 - (x^2/2) + (x^4/24) - ...] + [ix - i(x^3/6) + i(x^5/120) - ...].
la parte izquierda se nos debería de hacer familiar, es cos(x)!!
entonces tenemos: e^(ix) = cos(x) + [ix - i(x^3/6) + i(x^5/120) - ...]. Factorizando el i de la derecha, nos queda:
e^(ix) = cos(x) + i[x - (x^3/6) + (x^5/120) - ...]. y la parte de la derecha se acaba de transformar en seno(x)!!
ESTA ES LA FORMULA QUE DEDUCIMOS Y QUE MUCHOS DE USTEDES SOLO CREYERON QUE ASÍ ERA:
e^(ix) = cos(x) + i sin(x) (1)
Apartir de aqui introducimos el otro termino que es π. Decimos que x=π.
e^(iπ) = cos(π) + i sin(π).
(cos(180)= -1 y seno(180)=0) por lo que nuestra ecuación se reduce a e(^iπ) = -1 + (i)(0). de donde se puede quitar el (i)0 pues sabemos que todo multiplicado por cero da cero.
Empezemos con e, cuando es usado es funciones exponenciales, normalmente se ve como f(x)=e^x.
Aquí necesitamos saber de un concepto que en lo personal me llevo 4 meses entender, pero lo veremos en unos pocos renglones, las Series de Taylor. Basicamente las Series de Taylor hacen de una función complicada (e^x) un polinomio (como x^2 + 5x).
La serie de taylor para e^x = 1 + x + (x^2 / 2) + (x^3 / 6) + (x^4 / 24) + (x^5 / 120) + .... y es infinita.
Aquí retomamos las funciones de seno y coseno, estas funciones también pueden ser expresadas como series de Taylor. A fines de velocidad, decidí meter una imagen con estas dos funciones
Si notan un patrón, habrán notado lo que Euler notó en su momento y después se pregunto si habría una forma de relacionar e^x con seno y coseno. Aquí es donde el numero i entra a la jugada.. que tal si tenemos e^(ix) en ves de solo e^x? Nuestra serie de Taylor sería: e^(ix) = 1 + ix + (ix^2 / 2) + (ix^3 / 6) + (ix^4 / 24) + (ix^5 / 120) + ....
Por lógica matemática sabemos que los exponentes de i se repiten, sabiendo que i a la primera es i; i a la segunda es -1; i a la tercera es -i e i a la cuarta es 1.
entonces lo simplifico hasta tener lo siguiente: e^(ix) = 1 + ix + -(x^2/2) + -i(x^3/6) + (x^4/24) + i(x^5/120) + ...
Acomodando los términos nos queda algo asi: e^(ix) = [1 - (x^2/2) + (x^4/24) - ...] + [ix - i(x^3/6) + i(x^5/120) - ...].
la parte izquierda se nos debería de hacer familiar, es cos(x)!!
entonces tenemos: e^(ix) = cos(x) + [ix - i(x^3/6) + i(x^5/120) - ...]. Factorizando el i de la derecha, nos queda:
e^(ix) = cos(x) + i[x - (x^3/6) + (x^5/120) - ...]. y la parte de la derecha se acaba de transformar en seno(x)!!
ESTA ES LA FORMULA QUE DEDUCIMOS Y QUE MUCHOS DE USTEDES SOLO CREYERON QUE ASÍ ERA:
e^(ix) = cos(x) + i sin(x) (1)
Apartir de aqui introducimos el otro termino que es π. Decimos que x=π.
e^(iπ) = cos(π) + i sin(π).
(cos(180)= -1 y seno(180)=0) por lo que nuestra ecuación se reduce a e(^iπ) = -1 + (i)(0). de donde se puede quitar el (i)0 pues sabemos que todo multiplicado por cero da cero.
e(^iπ) = -1.
Aqui metemos el ultimo valor que es 1, sumamos 1 a los dos lados para no alterar la ecuación y te queda:
e^(iπ) + 1 = -1 + 1. Simplificamos de los dos lados y voilá!
Hemos deducido la ecuación mas bella matemáticamente hablando!
Son unos campeones por haber leído todo esto, ha sido muy pesado hacer esta entrada, fue una carga mental muy difícil pero lo hemos logrado. Apoco no se sienten bien? imagínense como me siento yo después de haber escrito todo esto, ha sido una carrera entre mi mente y mis dedos, haber cual se podía desempeñar mas eficaz.
Aqui metemos el ultimo valor que es 1, sumamos 1 a los dos lados para no alterar la ecuación y te queda:
e^(iπ) + 1 = -1 + 1. Simplificamos de los dos lados y voilá!
Hemos deducido la ecuación mas bella matemáticamente hablando!
Me encantó el título, expresa de manera creativa y llamativa tu tema. Aparte, me parece un enfoque muy padre y creo que nos puede abrir mucho la mente.
ResponderEliminarSiempre me han gustado las matemáticas pero, como no me dedico a eso, no se mucho. Estoy segura de que voy a aprender algo muy interesante con tu exposición y tus entradas :D